极端原理在小学数学竞赛培优中的应用

小学数学中有一些一看就懂的基本常识，有时可以解决一些很难的题目，在培养孩子数学思维和开阔眼界上能发挥意想不到的的作用。比如，最常见的鸽笼原理，极端原理，反证法，染色法就是如此。下面以极端原理为例具体探讨一下。

一.极端原理的基本概念

数学中的极端原理有好几个，今天讲讲最常见的最大数原理和最小数原理。这两个原理的内容非常简单：在一组数中，一定存在一个最大的数，也一定存在一个最小的数。这个结论基本不证自明，一目了然。但是，往往看似简单的道理，其实并不简单，运用好了可以解决一些非常难的大题。

二.原理的运用

例1 正误判断：已知三角形内角和为180°，则任意一个三角形中，一定有一个角不小于60°，也一定有一个角不大于60°。

解析：题目条件中并没有给出一个特殊三角形三个角之间的角度关系， 反而是要求学生考虑任意三角形的一种共性，不是考查学生简单的四则混合运算能力，而是考查学生的探索归纳能力，因此有一定的难度，一些学生感到无从下手。但是，从最大数原理和最小数原理出发，此题可迎刃而解。

三角形一共有三个角，根据最大数原理和最小数原理，这三个角中一定有一个最大，也一定有一个最小，如果最大角小于60°，那么三个内角和也将小于180°，与三角形内角和为180°矛盾；同理，如果最小角大于60°，那么三个内角和也将大于180°，同样与三角形内角和为180°矛盾。因此，任意一个三角形中，最大角一定不小于60°，最小角一定不大于60°。原题叙述内容是正确的。

例2 暑假期间某电视台播放一部50集少儿电视连续剧，在播放期间，假定每天至少播5集，任何两天播放的集数不同，问：播完此剧最多需要几天？

解析：显然每天播放的集数越少，则播完所需时间越长，因此可以运用最小数原理来解此题。第一天可以播5集，但是第二天不能也播5集——因为题目条件要求每天播放的集数不同，因此从最小数原理出发，第二天应该播6集，同理，第3天播7集，......，由于5+6+7+8+9+10=45，按此规律，第7天只能播5集，与第1天重复，因此，必须做出调整：前5天按5，6，7，8，9播放，这样一共播了5+6+7+8+9=35集，第6天必须一次播完剩下15集才能满足任何两天播放的集数不同这一要求，所以，播完此剧最多需要6天。

例3 某市举行小学生乒乓球比赛，共有30名学生代表各自学校参赛。这30个学生有些相互之间认识，有些不认识。证明：一定有两个学生，他们认识的人数一样多。

解析：此题看似条件不够，无法下手，其实可以用反证法：（1） 假设没有两个学生认识的人数一样多，那么每个学生认识的人数都不一样。

（2）总共30名学生，因此，每个学生认识的人数最多29个，最少0个。

（3）按认识的人数给这30个学生排列， 即0，1，2，3，...，29 ，但是认识29个人的学生显然认识其余所有人，因此， 认识0个人的学生显然不存在，这样就导致矛盾,推出假设错误。

（4）所以，肯定有两个学生，他们认识的人数一样多。

此题也可以运用鸽笼原理证明。

例4 某校举行围棋比赛，共有40名学生报名参加，每两名学生之间都要赛一场。举行若干场后发现，没有两个学生赛过的对手完全相同。证明：一定可以去掉一名学生，使剩下的39名学生中，此时仍然没有两个学生赛过的对手完全相同。

解析：此题与例3一样，都是如何处理一组相互关系不明确的数 的问题，对此类问题，最好的办法就是极端原理+反证法。

（1）假设不存在这样的学生，那么对这40名学生中的每一个，肯定都有两个学生：他们赛过的对手除了这名学生外完全一样，而且其中一个与这名学生赛过，另外一个则没有。

(2) 设大忙人是这40名学生中，到目前为止赛过的对手最多的。那么一定有甲和乙，他们赛过的对手除了大忙人外完全一样，而且其中一个与大忙人赛过，另外一个则没有。假定甲与大忙人赛过，乙没有。

（3）对乙，也一定有丙和丁，他们赛过的对手除了乙外完全一样，而且其中一个与乙赛过，另外一个则没有。假定丙与乙赛过，丁没有。

由(2)，甲与丙也赛过，甲与丁也赛过。

（4）这里大忙人与丁会不会是同一人呢？不可能，因为如果是同一人的话，丙就比大忙人多赛一场，与大忙人是到目前为止赛过的对手最多的设定矛盾。

（5）因此，丁和大忙人一样，都是与甲赛过，与乙没有。这就与前面甲乙赛过的对手除了大忙人外完全一样矛盾，所以，假设错误，因此， 一定可以去掉一名学生，使剩下的39名学生中，仍然没有两个学生赛过的对手完全相同。

小结：从上面的例子可以看出，在面对一组数或数据时，看似简单的最大数原理和最小数原理，运用好了，可以解决一些看似无从下手的 题目，尤其是这些数之间的关系不是很明确的情况下，更是有力的武器。